miércoles, 27 de febrero de 2008

MODELOS

Modelos Matemáticos

Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos de elementos.
Estos son:
(1) Variables y parámetros de decisión
(2) Restricciones(3)
(3) Funciones objetivo.
(1) Variables y parámetros de decisión. Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y las funciones objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o probabilísticos (estocásticos).

(2) Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.

(3) Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del sistema como función matemática de las variables de decisión. Una decisión óptima del modelo se obtiene cuando los valores de las variables de decisión producen el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las restricciones.
Una formulación pobre o inapropiada de la función objetivo conduce a una solución pobre del problema. Un ejemplo común de esto ocurre cuando se desprecian algunos aspectos del sistema. Por ejemplo, para determinar el nivel óptimo de producción de un determinado producto, la función objetivo puede reflejar solamente metas de producción del departamento, despreciando las metas de mercado y finanzas.

Consideremos ahora un ejemplo:

Un problema de producción

La compañía XYZ produce dos juguetes, los osos Bobby y Teddy. Cada uno de estos productos debe ser procesado en dos máquinas diferentes.
Una máquina tiene 12 horas de capacidad disponible y la otra 8. Cada Bobby producido necesita 2 horas de tiempo en ambas máquinas. Cada Teddy producido requiere 3 horas de tiempo en la primera máquina y 1 hora en la segunda máquina. La ganancia incremental es de $ 6 por Bobby y de $7 por Teddy vendidos y la firma puede vender tantas unidades de cada producto como fabrique. El problema es determinar cuántas unidades de Bobbies y Teddies deben producirse.

Los modelos heurísticos

son esencialmente modelos que emplean reglas intuitivas o ciertas guías tratando de generar nuevas estrategias que se traduzcan en soluciones mejoradas. Los modelos heurísticos no pretenden obtener soluciones óptimas de un problema. Un ejemplo de un modelo heurístico podría ser: “ atienda todos los clientes de una línea sobre la base de que el primero que llega es el primero que se atiende”.

El resultado del ejercicio exitoso de construcción de un modelo es entonces, un modelo, que ayudará al tomador de decisiones a realizar la elección que sea más conmensurables con sus metas, indicando aquellas variables de mayor importancia en la decisión y reflejando las suposiciones de simplificación que puedan introducirse sin distorsionas la naturaleza básica del problema.


Utilizacion o ejemplo
Cuando ocurre una falla en un sistema de distribución de energía eléctrica de topología radial, el aislamiento de la sección donde ocurrió la falla provoca el aislamiento de algunas porciones del alimentador aguas abajo del área fallada, por lo tanto, el paso a seguir debe ser restaurar el servicio a los usuarios afectados. Dicha restauración debe hacerse tan rápido como sea posible, teniendo en cuenta restricciones de topología del sistema y capacidad de los alimentadores. En este artículo se presenta un método heurístico que permite la restauración del servicio mediante la reconfiguración de alimentadores. Se presentan los resultados para un sistema de distribución de 11 barras y tres alimentadores principales. Palabras claves: restauración del servicio, reconfiguración de alimentadores, optimización en sistemas de distribución, confiabilidad de sistemas de distribución.

modelos icónicos
Un modelo icónico ofrece una representación pictórica del objeto. El objeto se suele presentar como una proyección bidimensional; la escala y los colores con frecuencia se cambian, los detalles menos interesantes se omiten, y la presentación se concentra en aquellos detalles del objeto que son interesantes -- estos son con frecuencia aquellas invariantes que son comunes a todos o la mayor parte de los objetos que fueron estudiados.
La idea de un modelo icónico es antigua, y es el método estándar de presentación en artes pictóricas y también en el diseño de artefactos. Por ello suele ser también una buena elección en la investigación de artefactos. Básicamente, todas las imágenes son modelos icónicos.
Por ejemplo, un barco de juguete, es un modelo icónico de uno real.

Modelos a escala

Aunque es bien conocido el comportamiento del agua en tuberías y canales, en algunas ocasiones, el proyectista se ve forzado a emplear modelos a escala para determinar gastos y velocidades bajo condiciones anormales.
Este caso se presenta principalmente en la selección de imbornales y coladeras de piso, especialmente cuando las rejillas en la entrada no son del tipo convencional.

Ejemplo:


Se determina la capacidad de captación de un imbornal de dimensiones :

H= 20 cm., L= 120 cm., colocado junto al cordón de banqueta, en una calle con pendiente longitudinal de 4% y pendiente transversal de 2% con N= 0.015 (Manning).


DESIGUALDAD

Desigualdades Lineales
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal.

Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8.

Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 > x - 8
3 + 8 > x - 8 + 8
11 > x
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.Ejemplo:
Intérvalos
Un intérvalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intérvalos se utilizan los siguientes simbolos:


1. Intérvalo abierto (a, b) = {x/a x b}.
2. Intérvalo cerrado [a, b] = {x/a x b}

En una gráfica, los puntos finales de un intérvalo abierto se representan con un punto abierto ( ) y los de un intérvalo cerrado se representan con un punto cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:




Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intérvalos abiertos y los corchetes para los intérvalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez. Por ejemplo: Si tenemos (a, b], la gráfica sería: Si tenemos [a, b), la gráfica sería:


Si tenemos [a, b), la gráfica sería:




Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de intérvalo (a, ). El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intérvalo (- , a).
Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones




SISTEMA DE DESIGUALDAD

Los métodos matemáticos llamados programación lineal (linear programming)
aplican a muchas situaciones reales. Estos métodos dependen de sistemas de desigualdades
lineales. Se pueden visualizar las soluciones a estos sistemas gráficamente como la región
que contiene sólo los puntos que satisfacen todas las desigualdades en el sistema.



Ejemplo 1.-

Una compañía obtiene una ganancia de 30UM por fabricar cada barril de alcohol
isopropilico y 25UM por fabricar cada barril de alcohol absoluto. Se quiere utilidades totales de
al menos 1500UM diarios. Si x representa el número de barriles de alcohol isopropilico y y el
número de barriles de alcohol absoluto que se producen diariamente, dibujar la región del plano
que satisface esta condición.

Solución: Primero se debe conseguir la desigualdad que impone la condición.
En este caso la condición es
Utilidades ≥ 1500


Por otro lado debemos expresar las utilidades en términos de las variables x y y .
Tenemos que:


Utilidad por producir x barriles de alcohol isopropilico = 30x
Utilidad por producir y barriles de alcohol absoluto = 25y
Utilidades totales= 30x + 25y

PUNTO DE ESQUINA


El método del Punto Esquina
Ya hemos visto una forma de resolver el problema de PL, pero es evidente su imprecisión y fundamentalmente la imposibilidad de utilizarla cuando la dimensión del problema es superior a 2... porque todavía no sabemos ni dibujar, ni visualizar dimensiones superiores. Necesitamos entonces un nuevo método que nos permita obtener soluciones exactas a nuestro problema.
Si reconsideramos nuestro problema nos encontramos en la siguiente situación:



Tenemos que maximizar la función objetivo:





sujeta a las restricciones siguientes:
con x e y positivos




Si realizamos la gráfica de la función objetivo en un espacio tridimensional obtenemos:




Y si aplicamos las restricciones (utilizando el pequeño truco de dar el valor 0 a todo punto que está fuera del conjunto restricción) obtenemos:






Por lo tanto observamos que el valor máximo parece que se alcanza en un punto esquina del conjunto restricción de nuestro problema. En este momento deberíamos intentar demostrar este resultado. Si no lo ves necesario podemos dar un esquema general del método del punto esquina.


Algoritmo simplex
En la teoría de optimización, el algoritmo símplex , descubierto por el matemático norteamericano George Bernard Dantzig en 1947, es una técnica popular para dar soluciones numéricas del problema de la programación lineal. Un método sin relación, pero llamado de manera similar, es el método Nelder-Mead o método símplex cuesta abajo, debido a Nelder y Mead (1965), que es un método numérico para optimización de problemas libres multidimensionales, perteneciente a la clase más general de algoritmos de búsqueda. El que permite encontrar una solución óptima en un problema de maximización o minimización, buscando en los vértices del polígono.
En ambos casos, el método usa el concepto de un símplex, que es un politopo de N + 1 vértices en N dimensiones: un segmento de línea sobre una línea, un triángulo sobre un plano, un tetraedro en un espacio de tres dimensiones y así sucesivamente.

El método Símplex. Variables de Holgura
En todo momento hemos trabajado con desigualdades lineales. Esto significa que entre la expresión dada y el límite que le ponemos hay una cierta "separación", es decir, una cierta holgura.

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