miércoles, 27 de febrero de 2008

MODELOS

Modelos Matemáticos

Un modelo matemático comprende principalmente tres conjuntos básicos de elementos.
Estos son:
(1) Variables y parámetros de decisión
(2) Restricciones(3)
(3) Funciones objetivo.
(1) Variables y parámetros de decisión. Las variables de decisión son las incógnitas (o decisiones) que deben determinarse resolviendo el modelo. Los parámetros son los valores conocidos que relacionan las variables de decisión con las restricciones y las funciones objetivo. Los parámetros del modelo pueden ser determinísticos o probabilísticos (estocásticos).

(2) Restricciones. Para tener en cuenta las limitaciones tecnológicas, económicas y otras del sistema, el modelo debe incluir restricciones (implícitas o explícitas) que restrinjan las variables de decisión a un rango de valores factibles.

(3) Función objetivo. La función objetivo define la medida de efectividad del sistema como función matemática de las variables de decisión. Una decisión óptima del modelo se obtiene cuando los valores de las variables de decisión producen el mejor valor de la función objetivo, sujeta a las restricciones.
Una formulación pobre o inapropiada de la función objetivo conduce a una solución pobre del problema. Un ejemplo común de esto ocurre cuando se desprecian algunos aspectos del sistema. Por ejemplo, para determinar el nivel óptimo de producción de un determinado producto, la función objetivo puede reflejar solamente metas de producción del departamento, despreciando las metas de mercado y finanzas.

Consideremos ahora un ejemplo:

Un problema de producción

La compañía XYZ produce dos juguetes, los osos Bobby y Teddy. Cada uno de estos productos debe ser procesado en dos máquinas diferentes.
Una máquina tiene 12 horas de capacidad disponible y la otra 8. Cada Bobby producido necesita 2 horas de tiempo en ambas máquinas. Cada Teddy producido requiere 3 horas de tiempo en la primera máquina y 1 hora en la segunda máquina. La ganancia incremental es de $ 6 por Bobby y de $7 por Teddy vendidos y la firma puede vender tantas unidades de cada producto como fabrique. El problema es determinar cuántas unidades de Bobbies y Teddies deben producirse.

Los modelos heurísticos

son esencialmente modelos que emplean reglas intuitivas o ciertas guías tratando de generar nuevas estrategias que se traduzcan en soluciones mejoradas. Los modelos heurísticos no pretenden obtener soluciones óptimas de un problema. Un ejemplo de un modelo heurístico podría ser: “ atienda todos los clientes de una línea sobre la base de que el primero que llega es el primero que se atiende”.

El resultado del ejercicio exitoso de construcción de un modelo es entonces, un modelo, que ayudará al tomador de decisiones a realizar la elección que sea más conmensurables con sus metas, indicando aquellas variables de mayor importancia en la decisión y reflejando las suposiciones de simplificación que puedan introducirse sin distorsionas la naturaleza básica del problema.


Utilizacion o ejemplo
Cuando ocurre una falla en un sistema de distribución de energía eléctrica de topología radial, el aislamiento de la sección donde ocurrió la falla provoca el aislamiento de algunas porciones del alimentador aguas abajo del área fallada, por lo tanto, el paso a seguir debe ser restaurar el servicio a los usuarios afectados. Dicha restauración debe hacerse tan rápido como sea posible, teniendo en cuenta restricciones de topología del sistema y capacidad de los alimentadores. En este artículo se presenta un método heurístico que permite la restauración del servicio mediante la reconfiguración de alimentadores. Se presentan los resultados para un sistema de distribución de 11 barras y tres alimentadores principales. Palabras claves: restauración del servicio, reconfiguración de alimentadores, optimización en sistemas de distribución, confiabilidad de sistemas de distribución.

modelos icónicos
Un modelo icónico ofrece una representación pictórica del objeto. El objeto se suele presentar como una proyección bidimensional; la escala y los colores con frecuencia se cambian, los detalles menos interesantes se omiten, y la presentación se concentra en aquellos detalles del objeto que son interesantes -- estos son con frecuencia aquellas invariantes que son comunes a todos o la mayor parte de los objetos que fueron estudiados.
La idea de un modelo icónico es antigua, y es el método estándar de presentación en artes pictóricas y también en el diseño de artefactos. Por ello suele ser también una buena elección en la investigación de artefactos. Básicamente, todas las imágenes son modelos icónicos.
Por ejemplo, un barco de juguete, es un modelo icónico de uno real.

Modelos a escala

Aunque es bien conocido el comportamiento del agua en tuberías y canales, en algunas ocasiones, el proyectista se ve forzado a emplear modelos a escala para determinar gastos y velocidades bajo condiciones anormales.
Este caso se presenta principalmente en la selección de imbornales y coladeras de piso, especialmente cuando las rejillas en la entrada no son del tipo convencional.

Ejemplo:


Se determina la capacidad de captación de un imbornal de dimensiones :

H= 20 cm., L= 120 cm., colocado junto al cordón de banqueta, en una calle con pendiente longitudinal de 4% y pendiente transversal de 2% con N= 0.015 (Manning).


DESIGUALDAD

Desigualdades Lineales
Una inecuación o desigualdad lineal es lo mismo que una ecuación lineal pero cambiando el signo de igualdad por signo(s) de desigualdad.
Los signos de desigualdad son . Para resolver una desigualdad lineal se utilizan los mismos pasos que se usan para resolver una ecuación lineal.

Como ejemplo, vamos a resolver la desigualdad 3 > x - 8.

Sumando la misma cantidad a ambos lados:
3 > x - 8
3 + 8 > x - 8 + 8
11 > x
Una regla importante en las desigualdades es que cuando se divide por un número negativo, el signo de desigualdad cambia.Ejemplo:
Intérvalos
Un intérvalo es el conjunto de todos los números reales entre dos números reales dados. Para representar los intérvalos se utilizan los siguientes simbolos:


1. Intérvalo abierto (a, b) = {x/a x b}.
2. Intérvalo cerrado [a, b] = {x/a x b}

En una gráfica, los puntos finales de un intérvalo abierto se representan con un punto abierto ( ) y los de un intérvalo cerrado se representan con un punto cerrado ( ). Por ejemplo, observemos las siguientes figuras:




Según vimos anteriormente los paréntesis se utilizan para los intérvalos abiertos y los corchetes para los intérvalos cerrados. Veamos ahora cuando se utilizan ambas denotaciones a la misma vez. Por ejemplo: Si tenemos (a, b], la gráfica sería: Si tenemos [a, b), la gráfica sería:


Si tenemos [a, b), la gráfica sería:




Cuando hablamos de infinito nos referimos al conjunto de todos los números reales mayores que a y se representan con la notación de intérvalo (a, ). El conjunto de todos los números reales menores que a se representan con la notación de intérvalo (- , a).
Desigualdades que Envuelven Dos Posibles Soluciones




SISTEMA DE DESIGUALDAD

Los métodos matemáticos llamados programación lineal (linear programming)
aplican a muchas situaciones reales. Estos métodos dependen de sistemas de desigualdades
lineales. Se pueden visualizar las soluciones a estos sistemas gráficamente como la región
que contiene sólo los puntos que satisfacen todas las desigualdades en el sistema.



Ejemplo 1.-

Una compañía obtiene una ganancia de 30UM por fabricar cada barril de alcohol
isopropilico y 25UM por fabricar cada barril de alcohol absoluto. Se quiere utilidades totales de
al menos 1500UM diarios. Si x representa el número de barriles de alcohol isopropilico y y el
número de barriles de alcohol absoluto que se producen diariamente, dibujar la región del plano
que satisface esta condición.

Solución: Primero se debe conseguir la desigualdad que impone la condición.
En este caso la condición es
Utilidades ≥ 1500


Por otro lado debemos expresar las utilidades en términos de las variables x y y .
Tenemos que:


Utilidad por producir x barriles de alcohol isopropilico = 30x
Utilidad por producir y barriles de alcohol absoluto = 25y
Utilidades totales= 30x + 25y

PUNTO DE ESQUINA


El método del Punto Esquina
Ya hemos visto una forma de resolver el problema de PL, pero es evidente su imprecisión y fundamentalmente la imposibilidad de utilizarla cuando la dimensión del problema es superior a 2... porque todavía no sabemos ni dibujar, ni visualizar dimensiones superiores. Necesitamos entonces un nuevo método que nos permita obtener soluciones exactas a nuestro problema.
Si reconsideramos nuestro problema nos encontramos en la siguiente situación:



Tenemos que maximizar la función objetivo:





sujeta a las restricciones siguientes:
con x e y positivos




Si realizamos la gráfica de la función objetivo en un espacio tridimensional obtenemos:




Y si aplicamos las restricciones (utilizando el pequeño truco de dar el valor 0 a todo punto que está fuera del conjunto restricción) obtenemos:






Por lo tanto observamos que el valor máximo parece que se alcanza en un punto esquina del conjunto restricción de nuestro problema. En este momento deberíamos intentar demostrar este resultado. Si no lo ves necesario podemos dar un esquema general del método del punto esquina.


Algoritmo simplex
En la teoría de optimización, el algoritmo símplex , descubierto por el matemático norteamericano George Bernard Dantzig en 1947, es una técnica popular para dar soluciones numéricas del problema de la programación lineal. Un método sin relación, pero llamado de manera similar, es el método Nelder-Mead o método símplex cuesta abajo, debido a Nelder y Mead (1965), que es un método numérico para optimización de problemas libres multidimensionales, perteneciente a la clase más general de algoritmos de búsqueda. El que permite encontrar una solución óptima en un problema de maximización o minimización, buscando en los vértices del polígono.
En ambos casos, el método usa el concepto de un símplex, que es un politopo de N + 1 vértices en N dimensiones: un segmento de línea sobre una línea, un triángulo sobre un plano, un tetraedro en un espacio de tres dimensiones y así sucesivamente.

El método Símplex. Variables de Holgura
En todo momento hemos trabajado con desigualdades lineales. Esto significa que entre la expresión dada y el límite que le ponemos hay una cierta "separación", es decir, una cierta holgura.

martes, 26 de febrero de 2008

4.- INVESTIGACION DE OPERACIONES (VENTAJAS Y LIMITACIONES)

VENTAJAS DE LOS MODELOS EN I.O.
En general, ayudan a tomar 2 tipos de decisiones :
Decisiones estratégicas.- Es una decisión de una sola vez, que involucra políticas con consecuencias a largo plazopara la organización.Se consideran decisiones importantes, considera la incertidumbre y escoge entre varias alternativas.
Decisiones Operacionales.- Es una decisión que implica cuestiones de planeación a corto plazo que generalmentedeben hacerse repetidamente.Se consideran decisiones de menor importancia y frecuentes por ser dadas para el corto plazo. Ignoran laincertidumbre y no evita barajear alternativas nuevas."Si se aplica administración estratégica, calidad en las operaciones, calidad en el liderazgo; se puede llegar a la calidad total"
LIMITACIONES DE LA INVESTIGACIÓN DE OPERACIONES
1. Frecuentemente es necesario hacer simplificaciones del problema original para poder manipularlo y detener una solución.
2. La mayoría de los modelos sólo considera un solo objetivo y frecuentemente en las organizaciones se tienen objetivos múltiples.
3. Existe la tendencia a no considerar la totalidad de las restricciones en un problema práctico, debido a que los métodos de enseñanza y entrenamiento dan la aplicación de esta ciencia centralmente se basan en problemas pequeños para razones de índole práctico, por lo que se desarrolla en los alumnos una opinión muy simplista e ingenua sobre la aplicación de estas técnicas a problemas reales.
4. Casi nunca se realizan análisis costo-beneficio de la implantación de soluciones definidas por medio de la I de O, en ocasiones los beneficios potenciales se van superados por los costos ocasionados por el desarrollo e implantación de un modelo.

CAMPO DE APLICACION:

EJEMPLO DE PROGRAMACION LINEAL

Como ejemplo de un problema de programación lineal en que la función objetivo debe maximizarse, considerese el siguiente problema de producción con dos variables.

El granjero Lopez tiene 480 hectáreas en la que se puede sembrar ya sea trigo o maíz. El calcula que tiene 800 horas de trabajo disponible durante la estación crucial del verano. Dados márgenes de utilidad y los requerimientos laborales mostrados a la derecha, ¿Cuántas hectáreas de cada uno debe plantar para maximizar su utilidad?¿Cuál es ésta utilidad máxima?
Maiz
Utilidad: $40 por hrs.
Trabajo: 2hs por hrs.
Trigo
Utilidad: $30 por hrs.
Trabajo: 1hs por hrs.
EJEMPLO DE MODELO TRANSPORTE
Una compañía está considerando una demanda de 5 clientes utilizando artículos que tienen disponibles en 2 almacenes. Los almacenes cuentan con 800 y 1000 unidades respectivamente. Los clientes necesitan 200, 150, 200, 180 y 500 unidades respectivamente. Los costos de embarque por artículo de los almacenes de los clientes son:
From/To Houston Chicago Nueva York Supply
Cedar Keys 5 3 6 250
Crystal River 6 2 4 350
Demand 200 250 150
TEORIA DE LA DECISION

En condiciones de incertidumbre, el papel del estadístico es tomar una decisión
a partir de una observación parcial de la situación. Una mala decisión
puede llevar a perdidas importantes.
Para comparar las decisiones definimos una función de perdidas que mide las consecuencias de cada decisión.

Consideramos el ejemplo siguiente: Un estadístico tiene que optar cada
mañana entre dos trayectos. La duración de cada uno depende del estado
del trafico que para simplificar clasificaremos en fluido (10% de las veces),
normal (60% de las veces) y malo (30% de los casos). Según el estado del
trafico se obtienen los tiempos de trayecto.
REDES (PERT Y CPM)

Ejemplo: PERT-CPM

Pionner Audio ha terminado el diseño y prueba de un nuevo tipo de bocina de alta fidelidad, el Resoponse 1000, la cual creen pueden producir y distribuir a un precio que les dará la posición más fuerte del mercado en la industria. Ken Vaughn, el presidente de Pionner, está altamente preocupado de que su bocina tenga la mejor promoción posible, y ha tenido varias reuniones con Rollie Tillman, el director de promoción y Publicidad de Pionner. Rollie planea una extensa campaña promocional que involucra folletería especialmente preparada, entrenamiento de la fuerza de ventas, conferencias de prensa, radio y televisión y demostraciones en vivo en tiendas seleccionadas en todo el país. Rollie sabe que esto involucra mucha coordinación y que un retraso le traerá problemas, no sólo al proyecto de la bocina Response 1000 sino también a él.

Rollie reunió una lista cuidadosa de todas las actividades diferentes involucradas eb la campaña promocional para la nueva bocina. En la tabla se muestra esta lista. Para cada actividad identificada por Rollie, también se identificó sus prioridades inmediatas, esto es, las actividades que deben preceder inmediatamente, a una actividad dada. Por ejemplo, Rollie anota que la actividad K, el programa de entrenamiento, tiene como sus actividades que lo preceden inmediatamente las actividades H y J; esto simplemente indica que el programa de entrenamiento no se puede llevar a cabo sin que el material de entrenamiento haya sido preparado y que los gerentes de las tiendas que participarán, hayan sido estudiadas y seleccionadas. En forma similar, la actividad L, la introducción simultánea en la tienda del Response 1000, no se puede conseguir sin G (los materiales promocionales de la tienda), I (la campaña de prensa, radio y televisión precia a la presentación) y K (el programa de entrenamiento) hayan sido terminados.
EJEMPLOS DE SISTEMAS DE COLAS O FILAS DE ESPERA

Puede parecer que la descripción de los sistemas de colas pueden parecer más o menos abstracta y sólo es aplicables en situaciones prácticas bastante especiales. Por el contrario, los sistemas de colas ocurren con sorprendente frecuencia en una amplia variedad de contextos. Para ampliar el horizonte sobre la aplicabilidad de la teoría de colas, se mencionarán brevemente varios ejemplos reales de sistemas de colas.

Una clase importante de sistemas de colas que se encuentran en la vida es el sistema de servicio comercial, en donde los clientes externos reciben un servicio de una organización comercial. Muchos de estos sistemas incluyen un servicio de persona a persona en una localidad fija, como una peluquería (los peluqueros son los servidores), es servicio de una cajera de banco, las cajas de cobro en un supermercado y una cola en una cafetería (canales de servicio en serie). Muchos otros sistemas son de tipo diferente, como la reparación de aparatos domésticos (el servidor va hacia el cliente), una maquina de monedas (el servidor es una máquina) y una gasolinera (los clientes son automóviles).

3.- CAMPO DE APLICACION:

2.- HISTORIA DE INVESTIGACION DE OPERACIONES

Historia de la Investigación de Operaciones.

La primera actividad de Investigación de Operaciones se dio durante la Segunda Guerra Mundial en Gran Bretaña, donde la Administración Militar llamó a un grupo de científicos de distintas áreas del saber para que estudiaran los problemas tácticos y estratégicos asociados a la defensa del país.
El nombre de Investigación de Operaciones fue dado aparentemente porque el equipo estaba llevando a cabo la actividad de investigar operaciones (militares).
Motivados por los resultados alentadores obtenidos por los equipos británicos, los administradores militares de Estados Unidos comenzaron a realizar investigaciones similares. Para eso reunieron a un grupo selecto de especialistas, los cuales empezaron a tener buenos resultados y en sus estudios incluyeron problemas logísticos complejos, la planeación de minas en el mar y la utilización efectiva del equipo electrónico.
Al término de la guerra y atraídos por los buenos resultados obtenidos por los estrategas militares, los administradores industriales empezaron a aplicar las herramientas de la Investigación de Operaciones a la resolución de sus problemas que empezaron a originarse debido al crecimiento del tamaño y la complejidad de las industrias.
Aunque se ha acreditado a Gran Bretaña la iniciación de la Investigación de Operaciones como una nueva disciplina, los Estados Unidos tomaron pronto el liderazgo en este campo rápidamente creciente. La primera técnica matemática ampliamente aceptada en el medio de Investigación de Operaciones fue el Método Símplex de Programación Lineal, desarrollado en 1947 por el matemático norteamericano George B. Dantzig. Desde entonces las nuevas técnicas se han desarrollado gracias al esfuerzo y cooperación de las personas interesadas tanto en el área académica como en el área industrial.
Un segundo factor en el progreso impresionante de la Investigación de Operaciones fue el desarrollo de la computadora digital, que con sus tremendas capacidades de velocidad de cómputo y de almacenamiento y recuperación de información, permitieron al tomador de decisiones rapidez y precisión.
Si no hubiera sido por la computadora digital, la Investigación de Operaciones con sus grandes problemas de computación no hubiera crecido al nivel de hoy en día.
Actualmente la Investigación de Operaciones se está aplicando en muchas actividades. Estas actividades han ido más allá de las aplicaciones militares e industriales, para incluir hospitales, instituciones financieras, bibliotecas, planeación urbana, sistemas de transporte y sistemas de comercialización.

INVESTIGACION DE OPERACIONES

Definición de investigación de operaciones.

La investigación de operaciones es la aplicación, por grupos interdisciplinarios, del método científico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o sistemas (hombre-maquina) a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a los objetivos de toda la organización.